如图.直线l的解析式为y=-x+4.它与x轴.y轴分别相交于A.B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发.沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与x轴.y轴分别相交于M.N两点.运动时间为t秒(1)求A.B两点的坐标,(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1,(3)以MN为对角线作矩形OMPN.记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2,①当2＜t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2009•邵阳）如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S₁；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S₂；
①当2＜t≤4时，试探究S₂与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S₂为△OAB的面积的

？

【答案】分析：（1）在解析式y=-x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；
（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；
（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．
解答：解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，

，
∴OM=ON=t，
∴S₁=

OM•ON=

t²；
（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=

，
直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4

，则

×4

h=4×4×

，
解得h=2

，
故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足

，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=

t²-

PE•PF=

t²-

（2t-4）（2t-4）=-

t²+8t-8；
②当0＜t≤2时，S₂=

t²，

t²=

，
解得t₁=-

＜0，t₂=

＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4时，S₂=-

t²+8t-8=

，
解得t₃=3，t₄=

，
综上得，当t=

或t=3时，S₂为△OAB的面积的

．
点评：本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．

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