Question

已知二次方程x²-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α³+β³；③α³-β³；④

α β

+

β α

Answer 1

分析：根据根与系数的关系，写出α+β和αβ的值，再把要求的代数式转化成含有α+β和αβ的形式，求出代数式的值．

解答：解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=

(α-β)2

=

(α+β)2-4αβ

=

9-4

=

5

．
②α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）[（α+β）²-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α³-β³=（α-β）（α²+αβ+β²）=（α-β）[（α+β）²-αβ]
由①知α-β=±

5

，
∴原式=±

5

（9-1）=±8

5

．
④

β α

+

α β

=

β2 αβ

+

α2 αβ

∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=

α+β

αβ

=

3

1

=3．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后代入代数式求出代数式的值．