Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C₁：y＝x²＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂。C₂的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线C₂的解析式；

（2）若抛物线C₂的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C₂交于点D，与抛物线C₁交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；

（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点G的坐标，如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵将抛物线C₁：y＝x²＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂，

∴抛物线C₁的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，－4）。

∴抛物线C₂的顶点坐标为（1，－4）。

∴抛物线C₂的解析式为，即。

（2）证明：由解得，

∵点A在点B的左侧，∴A（－1，0），B（3，0），AB=4。

∵抛物线C₂的对称轴为，顶点坐标D为（1，－4），∴CD=4。AC=CB=2。

将代入y＝x²＋3得y＝4，∴E（1， 4），CE=DE。

∴四边形ADBE是平行四边形。

∵ED⊥AB，∴四边形ADBE是菱形。

。

（3）存在。分AB为平行四边形的边和对角线两种情况：

①当AB为平行四边形的一边时，如图，

设F（1，y），

∵OB=3，∴G₁（－2，y）或G₂（4，y）。

∵点G在上，

∴将x=－2代入，得；将x=4代入，得。

∴G₁（－2，5），G₂（4，5）。

②当AB为平行四边形的一对角线时，如图，

设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H，

∵OB=3，OC=1，∴OM=，CM=。

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=。∴OH=2。

∴G₃（2，－y）。

∵点G在上，

∴将（2，－y）代入，得，即。

∴G₃（2，－3）。

综上所述，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G₁（－2，5），G₂（4，5），G₃（2，－3）。

【解析】

试题分析：（1）根据平移的性质，写出平移后的顶点坐标即可得出抛物线C₂的解析式。

（2）求出点A、B、D、E的坐标，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形的判定得到证明；从而根据菱形的性质求出面积。

（3）分AB为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。