【题目】如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:E(2,3)。
设抛物线解析式为,
将A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即。
∴抛物线解析式为即
。
(2)设直线AC解析式为(k≠0),
将A(4,0)与C(0,3)代入得:,解得:
。
∴直线AC解析式为。
与抛物线解析式联立得:,解得:
或
。
∴点D坐标为(1,)。
(3)存在,分两种情况考虑:
①当点M在x轴上方时,如图1所示:
四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN,
由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0)。
②当点M在x轴下方时,如图2所示:
过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3。
将yM=代入抛物线解析式得:
,
解得:xM=或xM=
。
∴xN=xM-3=或
,
∴N3(,0),N4(
,0)。
综上所述,满足条件的点N有四个:
N1(2,0),N2(6,0),N3(,0),N4(
,0)。
【解析】
试题(1)由OA的长度确定出A的坐标,再利用对称性得到顶点坐标,设出抛物线的顶点形式,将A的坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;。
(2)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,确定出直线AC解析式,与抛物线解析式联立即可求出D的坐标。
(3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形ADMN为平行四边形时,DM∥AN,DM=AN,由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根据OA+AN求出ON的长,即可确定出N的坐标;当四边形ADM′N′为平行四边形,可得△ADQ≌△NMP,MP=DQ=
,NP=AQ=3,将y=
代入得:
,求出x的值,确定出OP的长,由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标。
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【题目】如图,点O为原点,A. B为数轴上两点,AB=15,且OA:OB=2.
(1)A、B对应的数分别为___、___;
(2)点A. B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行,则几秒后A. B相距1个单位长度?
(3)点A. B以(2)中的速度同时向右运动,点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动,是否存在常数m,使得4AP+3OBmOP为定值,若存在请求出m值以及这个定值;若不存在,请说明理由。
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【题目】(1)观察推理:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D、E.求证:△AEC≌△CDB;
(2)类比探究:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,求△AB′C的面积.
(3)拓展提升:如图3,等边△EBC中,EC=BC=4cm,点O在BC上,且OC=3cm,动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间ts.
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【题目】如图,已知点A(m-4,m+1)在x轴上,将点A右移8个单位,上移4个单位得到点B.
(1)则m= ;B点坐标( );
(2)连接AB交y轴于点C,则= ;
(3)点D是x轴上一点,△ABD的面积为12,求D点坐标.
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【题目】已知:平面直角坐标系中,把点A(m,4)(m是实数)向右移动7个单位向下移动2个单位得到点B,点B向左移动3个单位向上移动6个单位得到点C,请解答:
(1) 点B,C的坐标是:B ,C ;
(2) 求△ABC的面积;
(3)若连接OC交线段AB于点D,且△ACD与△BCD的面积比不超过0.75时,求m的取值范围.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:BE=AD;
(2)求AD的长.
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【题目】如图,已知点A(m-4,m+1)在x轴上,将点A右移8个单位,上移4个单位得到点B.
(1)则m= ;B点坐标( );
(2)连接AB交y轴于点C,则= ;
(3)点D是x轴上一点,△ABD的面积为12,求D点坐标.
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【题目】电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中学生喜爱,小睿想知道大家最喜欢哪位“兄弟”,于是在本校随机抽取部分学生进行抽查每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”
,得到如图所示的统计图,
请结合图中提供的信息解答下列问题:
若小睿所在学校有1800名学生,估计全校喜欢“鹿晗”兄弟的学生人数.
小睿和小轩都喜欢“陈赫”,小彤喜欢“鹿晗”,从他们三人中随机抽选两人参加“撕名牌”游戏,求选中的两人中“一人喜欢陈赫,一人喜欢鹿晗”的概率
要求列表或画树状图
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【题目】在一次质检抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量分别为(单位:g):492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499,根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5 g~501.5 g之间的概率为( )
A. B.
C.
D.
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