Question

18．如图1，直线l：y=$\frac{3}{2}$x+3与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A（a，6）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线x=t（t＞0且t≠2）分别交直线l、双曲线y=$\frac{k}{x}$于C、D两点，连接AD，若AC=AD，请直接写出t的值；
（3）如图2．直线m：y=-x+c过点A，且与交双曲线y=$\frac{k}{x}$，交于另一点B，点P在双曲线上，点M、N均在线段AB上，且PM∥y轴，PN∥x轴，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出点C，D的坐标，再判断出点E是线段CD的中点，利用中点坐标公式即可求出t的值；
（3）先设出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可得出PM，PN，再判断出△PMN是等腰直角三角形，
进而判断出PN越小，三角形PMN的面积越小，即可求出a的值，即可．

解答 解：（1）∵点A（a，6）在直线l：y=$\frac{3}{2}$x+3上，
∴6=$\frac{3}{2}$a+3，
∴a=2，
∴A（2，6），
∵点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$；

（2）如图2，
由（1）知，双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
∵D（t，$\frac{12}{t}$），
∵点C在直线l：y=$\frac{3}{2}$x+3上，
∴C（t，$\frac{3}{2}$t+3），
过点A作AE⊥CD于E，
∴E（t，6），
∵AC=AD，
∴点E是CD的中点，A（2，6），
∴$\frac{12}{t}$+$\frac{3}{2}$t+3=2×6，
∴t=2（舍）或t=4，

（3）如图2，由（1）知，A（2，6），
∵直线m：y=-x+c，过点A，
∴-2+c=6，
∴c=8，
∴直线m：y=-x+8，
∴∠OHG=∠OGH=45°，
由（1）知，双曲线：y=$\frac{12}{x}$，
∵点P在双曲线上，
∴设P（a，$\frac{12}{a}$），（2≤a≤6），
∵PM∥y轴，且M在直线m上，
∴∠PMN=45°，M（a，a+8），
∵PN∥x轴，且N在直线m上，
∴∠PNM=45°，N（8-$\frac{12}{a}$，$\frac{12}{a}$），
∵点M，N在线段AB上，
∴PN=8-$\frac{12}{a}$-a=8-（a+$\frac{12}{a}$），
易知，△PMN是等腰直角三角形，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$PN²=$\frac{1}{2}$[8-（a+$\frac{12}{a}$）]²，
由于a+$\frac{12}{a}$＞0，只要a+$\frac{12}{a}$越小，S_△PMN越大，
而a+$\frac{12}{a}$≥2•$\sqrt{a}$•$\sqrt{\frac{12}{a}}$=4$\sqrt{3}$（当且仅当$\sqrt{a}$=$\sqrt{\frac{12}{a}}$时，取等号，即：a=-2$\sqrt{3}$（舍）或a=2$\sqrt{3}$）
∴S_△PMN最大=$\frac{1}{2}$（8-4$\sqrt{3}$）²=56-32$\sqrt{3}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标的求法，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解（2）的关键是判断出点E是线段CD的中点，解（3）的关键是确定出a的值，是一道中等难度的题目．