Question

6．（1）已知a、b、c是△ABC的三边长，试判断代数式（a²+b²-c²）²与4a²b²的大小．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且3a³+6a²b-3a²c-6abc=0，则△ABC是什么三角形？

Answer 1

分析 （1）原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式变形，继续利用平方差公式分解，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可确定出正负．
（2）由3a³+6a²b-3a²c-6abc=0，可得到（a-c）（a+2b）=0，从而求得a=c，则该三角形是等腰三角形．

解答 解：（1）（a²+b²-c²）²-4a²b²
=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c），
∵a，b，c是三角形ABC三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+C）＜0，即值为负数，
（a²+b²-c²）²＜4a²b²
（2）3a³+6a²b-3a²c-6abc=0，可得：a（a-c）（a+2b）=0，
所以a=c，
所以△ABC是等腰三角形．

点评 此题考查了因式分解的应用，以及三角形的三边关系，将已知式子进行适当的变形是解本题的关键．