Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点A、B的距离为时，求出此二次函数的解析式.
（3）若（2）中的条件不变，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.

Answer 1

（1）因为△=a²-4(a-2)=(a-2)²+4＞0，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设x₁、x₂是x²+ax+a-2=0的两个根，由韦达定理得， x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
因两交点的距离是AB=，所以==. 即(x₁-x₂)²=13，
即(x₁-x₂)²=13，
变形为(x₁+x₂)²-4x₁x₂=13，所以(-a)²-4(a-2)=13
整理，得a²-4a-5=0，解得a₁=5，或a₂=-1.
又因为a＜0，所以a=-1，
所以此二次函数的解析式为y=x²-x-3.
（3）设点P的坐标为(x₀，y₀)，因为AB=
所以
所以=3，则y₀=±3.
当y₀=3时，x₀²-x₀-3=3，解得x₀=-2，或3；
当y₀=-3时，x₀²-x₀-3=-3，解得x₀=0，或1.
综上所述， P点坐标是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).