Question

利用三角形内角和，探究四边形内角和：
如图，∠A、∠B、∠C、∠D是四边形的四个内角，连接AC，因为

 

，所以

 

，即四边形内角和为

 

．
利用上述结论解题：四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．

Answer 1

分析：探究：从三角形的内角和考虑；
（1）根据四边形的内角和等于360°列式即可求解；
（2）先根据平行线的性质求出∠ABE与∠BED的度数，再根据角平分线的定义求出∠EBC的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可；
（3）先根据四边形的内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义求出

1

2

（∠ABC+∠BCD）的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出∠BEC的度数．

解答：解：探究：∵△ABC与△ACD的内角和都是180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
即四边形内角和为360°；

（1）∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴140°+80°+2∠C=360°，
解得∠C=70°；

（2）∵∠A=140°，∠D=80°，BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∠BED=180°-∠D=180°-80°=100°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
在△BEC中，∠C=∠BED-∠EBC=100°-40°=60°；

（3）∵∠A=140°，∠D=80°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-（140°+80°）=140°，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=

1

2

×140°=70°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-70°=110°．

点评：本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键．