Question

18．已知：在△ABC中，D、E是BC上两点．且AD∥EG，EG交AC于F，交BA的延长线于G．若EF+EG=2AD．求证：AD是△ABC的中线．

Answer 1

分析 由AD∥PE；得到△ABD∽△GBE，得到比例式$\frac{AD}{EG}=\frac{BD}{BE}$，求得EG=$\frac{AD•BE}{BD}$，同理△CEF∽△CAD，得到比例式$\frac{CE}{CD}=\frac{EF}{DA}$，求得EF=$\frac{AD•CE}{CD}$，根据已知条件EF+EG=2AD，列方程$\frac{AD•BE}{BD}+\frac{AD•CE}{CD}$=2AD，通过化简即可得到结论．

解答 证明：∵AD∥PE；
∴△ABD∽△GBE，△CEF∽△CDA；
∴$\frac{AD}{EG}=\frac{BD}{BE}$，
∴EG=$\frac{AD•BE}{BD}$，
同理△CEF∽△CAD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{EF}{DA}$，
∴EF=$\frac{AD•CE}{CD}$，
∵EF+EG=2AD，
∴$\frac{AD•BE}{BD}+\frac{AD•CE}{CD}$=2AD，
∴AD•（$\frac{BE}{BD}+\frac{CE}{CD}$）=2AD，
∴$\frac{BE}{BD}+\frac{CE}{CD}$=2，
∴$\frac{BE}{BD}-1=1-\frac{CE}{CD}$，
∵$\frac{BE}{BD}-1=1-\frac{CE}{CD}$，
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{DE}{CD}$，
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．