Question

13．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧$\widehat{AEB}$上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥BC，证出AD∥OB，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DAB=∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：∵点E是优弧$\widehat{AEB}$上一点，且∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴扇形OAB的面积=$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．