如图.△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.点E.F分别在边BC.AC上运动.且始终保持CE=CF.连接AE.BF.交于点D.过点C作CG⊥AE交AB于G.过点G作GH⊥BF于点M.交BC于H．(1)如图1.当GH与AE交于点N时.①若∠EAB=20°.求∠GHB的度数,②求证:AN=CG+GN,(2)如图2.连接CD并延长与AB交于点O.连接OM.随着点E的运动.∠OMG的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E，F分别在边BC、AC上运动，且始终保持CE=CF，连接AE、BF，交于点D，过点C作CG⊥AE交AB于G，过点G作GH⊥BF于点M，交BC于H．
（1）如图1，当GH与AE交于点N时，
①若∠EAB=20°，求∠GHB的度数；
②求证：AN=CG+GN；
（2）如图2，连接CD并延长与AB交于点O，连接OM，随着点E的运动，∠OMG的大小是否改变？如果不变，请求出∠OMG的度数；如果要变，请说明理由．

分析（1）①如图1，先求∠ABC=45°，再证明△AFB≌△BEA，则∠FBA=∠EAB=20°，在Rt△BMH中，根据直角三角形两锐角互余求出∠GHB=90°-25°=65°；
②如图2，连接CD并延长与AB交于点O，连接DG，证明△ACE≌△BCF和△ACD≌△BCD，得CO⊥AB，利用△AOD≌△COG，得OD=OG，AD=CG，所以△DOG是等腰直角三角形，表示∠NDG=∠DGN=45°+∠DBO，
所以DN=GN，得出结论；
（2）∠OMG的大小不变是45°，证明D、O、G、M四点共圆，可得结论：∠OMG=∠ODG=45°．

解答解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AC=BC，CE=CF，
∴AC-CF=BC-CE，
即AF=BE，
∵AB=BA，
∴△AFB≌△BEA，
∴∠FBA=∠EAB=20°，
∴∠CBF=45°-20°=25°，
∵GH⊥BF，
∴∠BMH=90°，
∴∠GHB=90°-25°=65°；
②如图2，连接CD并延长与AB交于点O，连接DG，
∵∠ABC=∠CAB=45°，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE=∠CBF，
∴∠DAO=∠DBO，
∴AD=BD，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD，
∵AC=BC，
∴CO⊥AB，
∴∠COG=90°，
∵∠EAG+∠AGC=90°，
∠AGC+∠OCG=90°，
∴∠EAG=∠OCG，
∵∠AOC=∠COG=90°，
CO=AO，
∴△AOD≌△COG，
∴OD=OG，AD=CG，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴∠ODG=∠OGD=45°，
∵∠NDG=180°-∠ODG-∠ADO=180°-45°-（90°-∠DAO）=45°+∠DAO，
∠DGN=180°-∠OGD-∠MGB=180°-45°-（90°-∠DBO）=45°+∠DBO，
∵∠DAO=∠DBO，
∴∠NDG=∠DGN，
∴DN=GN，
∴AN=AD+DN=CG+GN；
（2）∠OMG的大小不变是45°，如图3，
理由是：由②可知：∠COG=90°，
∵GH⊥BF，
∴∠GMD=90°，
∴D、O、G、M四点共圆，
∵∠ODG=45°，
∴∠OMG=∠ODG=45°．

点评本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是关键，注意第一问中的角的度数，第②小问中不能应用，第②小问比较复杂，构建三角形全等是关键．

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