Question

如图，正方形ABCD的边AB=8cm，对角线AC、BD交于点O，点P沿射线AB从点A开始以2cm/s的速度运动；点E沿DB边从点D开始向点B以

2

cm/s的速度运动．如果P、E同时出发，用t秒表示运动的时间（0＜t＜8）．如图1，当0＜t＜4时：

（1）求证：△APC∽△DEC；
（2）判断△PEC的形状并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：动点型

分析：（1）根据正方形的对角线等于边长的

2

倍求出BD，再表示出AP、DE，然后根据两组边对应成比例，夹角相等，两三角形相似证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例求出

PC

CE

=

2

，相似三角形对应角相等求出∠ACP=∠DCE，再求出∠PCE=∠ACD=45°，然后判断出△PEC是等腰直角三角形．

解答：（1）证明：∵AB=8cm，
∴AC=BD=

2

AB=8

2

cm，
∵点P的运动的速度为2厘米/秒，点E运动的速度为

2

厘米/秒，
∴AP=2t，DE=

2

t，
∴

AP

DE

=

2t

2 t

=

2

，
∵

AC

CD

=

8 2

8

=

2

，
∴

AP

DE

=

AC

CD

，
又∵∠PAC=∠EDC=45°，
∴△APC∽△DEC；
（2）解：∵△APC∽△DEC，
∴

PC

CE

=

AP

DE

=

2

，∠ACP=∠DCE，
∴∠PCE=∠ACP+∠ACE=∠DCE+∠ACE=∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，熟记各性质是解题的关键．