Question

已知，如图在正方形OADC中，点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（4，0），CD的延长线交双曲线y=

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x

于点B．
（1）求直线AB的解析式；

（2）G为x轴的负半轴上一点连接CG，过G作GE⊥CG交直线AB于E．求证CG=GE；
（3）在（2）的条件下，延长DA交CE的延长线于F，当G在x的负半轴上运动的过程中，请问

OG+GF

DF

的值是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）欲求直线AB的解析式，须知点A B坐标，已知A坐标，只求B坐标．由于BC∥X轴可以得到点B纵坐标为4，代入y=

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x

中可求出点B横坐标；
（2）欲证CG=GE，利用原图无法证出，须作辅助线构建三角形全等，因此在y轴的负半轴上取一点F，使得OF=OG，连接GF可证△CGF≌△AGE，即解．

解答：解：（1）设y=kx+b，
∵点C的坐标为（0，4），BC∥X轴，
∴点B纵坐标为4，
当y=4时，x=

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4

=8，
根据题意得

4k+b=0 8k+b=4

，
∴k=1，b=-4，
∴y=x-4；

（2）在y轴的负半轴上取一点F，使得OF=OG，连接GF，
∵CO=AO，
∴CF=AG，
∵GE⊥CG，∠GOC=90°，
∴∠GCO=∠AGE
而∠GAE=∠GFO=45°，
∴△CGF≌△AGE，
∴CG=GE；

（3）答：是定值为1．
证明：在DF上取一点N，使得DN=OG，连接CN，
∵CO=CD，DN=GO，∠COG=∠CDN=90°，
∴△CGO≌△CND，
∴CN=CG，∠GCO=∠DCN，
又∠OCN+∠DCN=90°，
∴∠GCN=∠GCO+∠OCN=∠DCN+∠OCN=90°，
∵GC=GE，∠CGE=90°，
∴∠GCF=45°，又∠GCN=90°，
∴∠GCF=∠NCF=45°，而CF公共，
∴△CGF≌△CNF，则GF=NF，
则

GF+OG

DF

=

NF+DN

DF

=

DF

DF

=1．

点评：此题综合性比较强，主要考查一次函数的图形和性质、反比例函数的图象和性质，正方形的性质及全等三角形的性质和判定．