已知线段BC长度一定.点P.E为动点.满足∠BCE=90°.射线CP平分∠BCE.点E在直线BC上方．(1)如图1.如果∠BPE=90°.写出线段BC.PC.CE之间的一个等量关系.并证明你的结论,(2)如图2.在射线CE上截取CD=CB.连接BD.构成等腰直角三角形BCD．已知动点D1.在线段DC上.动点B1在CB的延长线上.且DD1=BB1．如果B1M平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．已知线段BC长度一定，点P，E为动点，满足∠BCE=90°，射线CP平分∠BCE，点E在直线BC上方（不与C重合）．
（1）如图1，如果∠BPE=90°，写出线段BC，PC，CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在射线CE上截取CD=CB，连接BD，构成等腰直角三角形BCD．已知动点D₁，在线段DC上（不与点D重合），动点B₁在CB的延长线上，且DD₁=BB₁．如果B₁M平分∠D₁B₁C，交射线CP于点M，过点M作MN⊥B₁D₁，垂足为N，请猜想MN，$\frac{1}{2}$B₁D₁与BC三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当B₁N=3，D₁N=2时，求BD的长．

分析（1）过点P作PG⊥BC于G，PF⊥CE于F，证△PBG≌PEF即可解决问题；
（2）过M作MR⊥BC于R，MQ⊥CD于Q，由于BM和CM都是角平分线，说明M是△B₁CD₁的内心，进而得出B₁N=B₁R，D₁N=D₁Q，CR=CQ，然后易得MRCQ是正方形，结论自然显现出来；
（3）根据B₁N=B₁R，D₁N=D₁Q，CR=CQ，先算出CR和CQ，再由（2）中结论算出BR，就可以算出BC，BD也就自然算出．

解答解：（1）猜想：BC+CE=$\sqrt{2}$PC．
证明：过点P作PG⊥BC于G，PF⊥CE于F，由角平分线的性质可知：PG=PF．
①如果点G在线段BC上，如图1，

∵∠PGC=90°，∠PCG=45°，
∴△PGC是等腰直角三角形，即PG=GC，
同理PF=FC，从而四边形PGCF是正方形，
∵∠BPE=90°=∠BCE，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PBG+∠PBC=180°，
∴∠PBG=∠PEF，
在△PBG和△PEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBG=∠PEF}\\{∠PGB=∠PFE}\\{PG=PF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PEF（AAS），
∴BC=CG-BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC-BG，
CE=CF+EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+EF，
∵BG=EF，
∴BC+CE=$\sqrt{2}$PC．
②如图2，如果点G在线段CB的延长线上，

同理可证∴BC+CE=$\sqrt{2}$PC．

（2）猜想：$\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}+MN=BC$．
证明：如图3，过M作MR⊥BC于R，MQ⊥CD于Q，

由角平分线的性质可知，MN=MR，MQ=MR，
进而可得B₁N=B₁R，D₁N=D₁Q，
从而四边形MRCQ是正方形，
∴B₁D₁=B₁N+D₁N=B₁R+D₁Q=B₁B+BR+DQ-DD₁=2BC-2MN，
从而$\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}+MN=BC$．

（3）如图4，

∵CP平分∠BCD，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，
∴CH⊥BD，BH=DH=CH，
由（2）可知BC-MN=$\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{2}（{B}_{1}N+{D}_{1}N）$=$\frac{5}{2}$，
∵MN=MR=CR，
∴BR=BC-CR=BC-MN=$\frac{5}{2}$，
由（2）可知BR=B₁N=3，D₁Q=D₁N=2，CR=CQ，
设CR=CQ=x，则（3+x）²+（2+x）²=5²，
解得：x=1，即CR=1，
∴BC=BR+CR=$\frac{7}{2}$，
∴BD=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查了角平线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度中等．根据M点是内心，用勾股定理算出CR和CQ是解决第（3）问的关键和突破口．

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