Question

16．如图，△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AC，AB上，AD=AE，△ABC的高AF交BD于G，过点E作BD的垂线交BC于点H，若GF=3，CH=4，则点A到BD的距离为$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥EH于M，AN⊥BD于N交BC于T，CK⊥AT于K交EH的延长线于P，BD交EH于Q．连接AQ．首先证明AQ平分∠EQD，推出四边形AMQN是正方形，由△ABN≌△CAK，推出AM=CK，PK=CK，由TK∥PH，推出CT=TH=2，由△BFN≌△AFT，推出NF=TF=3，FH=1，BF=CF=5，在Rt△BNF中，可得BN=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由△CTK∽△BNF，得到$\frac{CK}{BF}$=$\frac{CT}{BN}$，求出CK即可解决问题．

解答 解：如图，作AM⊥EH于M，AN⊥BD于N交BC于T，CK⊥AT于K交EH的延长线于P，BD交EH于Q．连接AQ．

∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵EH⊥BD，
∴∠EQD=90°，
∴∠EQD+∠EAD=180°，
∴A、E、Q、D四点共圆，
∴∠AQE=∠ADE=45°，∠AQD=∠AED=45°，
∴AQ平分∠EQD，∵AM⊥MQ，AN⊥QD，
∴AM=AN，则易知四边形AMQN是正方形，四边形AMPK是矩形，
∴AM=PK，
在△ABN和△CAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABN=∠CAK}\\{∠ANB=∠AKC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAK，
∴AM=CK，
∴PK=CK，
∵TK∥PH，
∴CT=TH=2，
在△BFN和△AFT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBN=∠FAT}\\{BF=AF}\\{∠BFN=∠AFT}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△AFT，
∴NF=TF=3，
∴FH=1，
∴BF=CF=5，
在Rt△BNF中，BF=5，FN=3，
∴BN=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由△CTK∽△BNF，
∴$\frac{CK}{BF}$=$\frac{CT}{BN}$，
∴$\frac{CK}{5}$=$\frac{2}{\sqrt{34}}$，
∴CK=$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．
∴AN=CK=$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．
故答案为$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、角平分线的判定定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会条件辅助线，本题的突破点是证明四边形AMQN是正方形，属于中考填空题中的压轴题．