如图.在△ABC中.AB=BC=2.高BE=3.在BC边的延长线上取一点D.使CD=3．(1)现有一动点P由A沿AB移动.设AP=t.S△PCD=S.求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．的条件下.当t=13时.过点C作CH⊥PD于H.设K=7CH:9PD．求证:关于x的二次函数y=-x2-(10k-3)x+2k的图象与x轴的两个交点关于原点对称．的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=

，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S_△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当t=

时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数y=-x2-(10k-

)x+2k的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=

CD？如果存在，请求出t的值；如果

不存在，请说明理由．

（1）过点P作PF⊥BD于点F．
∵AB=BC=2，高BE=

，
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=

（2-t），
∴S=

×3×

（2-t），
=-

（0≤t≤2）；

（2）证明：∵t=

，
∴PB=2-

，
∴PB=

，PF=

，CF=

，
∴DF=3+

，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=

(

)2+(

，
=

，
在△PCD中

×3=

CH，
解得CH=

，
K=

×7

×9

，
∴y=-x2-(10×

)x+2×

，
y=-x2+

，
当y=0时，解得x=±

，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(

，0)或(-

，0)，
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；

（3）不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且CH=

CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）

，DF=2-

2-t

+3=

t+8

由勾股定理得
[(2-t)

]2=(

t+8

)2+(

(2-t)

)2
解得t₁=7不符合题意应舍去．
t₂=-

不符合题意应舍去．
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．

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