Question

将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°。
【小题1】(1)将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，点Q是与BC的交点，求证：=；
【小题2】(2)在图2中,若AP₁=,则CQ等于多少?
【小题3】(3)将图2中△绕点C顺时针旋转到△（如图3），点与AP₁的交点．当旋转角为多少度时,有△A P₁C∽△CP₁P₂? 这时线段之间存在一个怎样的数量关系?.

Answer 1

【小题1】⑴证明：∵∠B₁CB＝45°，∠B₁CA₁＝90°，∴∠B₁CQ＝∠BCP₁＝45°；
又B₁C＝BC，∠B₁＝∠B，∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）∴CQ＝CP₁
【小题2】⑵解：作P₁D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P₁D＝AP₁；
∵∠P₁CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP₁＝P₁D＝AP₁；
又AP₁＝，CQ＝CP₁ ，∴CQ＝
【小题3】⑶解：当∠P₁CP₂＝∠P₁AC＝30°时，由于∠CP₁P₂＝∠AP₁C，
则△AP₁C∽△CP₁P₂，    这时，
∴P₁P₂＝CP₁ ．        

解析