Question

已知：如图，矩形ABCD中，CH⊥BD于点H，P为AD上的一个动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E，若，DH：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP的面积为y．
（1）求BD的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当四边形ABEP的面积是△PED面积的5倍时，连接PB，判断△PAB与△PDC是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵DH：CD=5：13，
∴设DH=5k（k＞0），则CD=13k
∵CH⊥BD于点H
在Rt△CHD中，
根据勾股定理，CH²+DH²=CD²
∴CH=
=12k
∵CH=
∴12k=
∴k=
∴DC=5，DH=
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BCD=90°
∴DC²=DH•BD
∴BD==13．

（2）Rt△BCD中，根据勾股定理，BC==12
∴AD=12
∵AP=x
∴PD=12-x
过E点作EF⊥AD于点F，延长FE交BC于点M
则EM⊥BC
∵AD∥BC
∴△EDP∽△EBC
∵EF+EM=5
∴EM=5-EF
∴
∴EF=
∴S_△PED=（12-x）•=
∵S_△ABD=AB•AD==30
又∵S_{四边形ABEP}=S_△ABD-S_△PED
∴y=30-
其中0＜x＜12

（3）∵S_{四边形ABEP}=S_△ABD=25
∴30-=25
整理，得
x²-22x+96=0
解得x₁=6，x₂=16
经检验x₁=6，x₂=16是原方程的根，但x₂=16不合题意舍去．
∴x=6
∴AP=6
当AP=6时，P为AD中点
连接PB
则△PAB≌△PDC（如图2）
∴△PAB与△PDC相似，相似比为1．

分析：（1）根据DH、CD的比例关系，可用未知数表示出它们的长，由勾股定理可得到CH的表达式，已知了CH的长，即可求得CD、DH的长；在Rt△CBD中，CH⊥BD于H，由射影定理即可求得BD的长；
（2）Rt△BCD中，根据勾股定理易求得BC的长，即可得到PD的表达式；过E点作EF⊥AD于点F，延长FE交BC于点M，则EF、EM分别是△DPE、△BCE的高，易证得这两个三角形相似，根据相似三角形的对应线段成比例即可得到EF、EM的比例关系式，联立EF+EM=CD=5，即可求得EF的长，进而可得到△PED的面积；由于四边形APEB的面积是△ABD和△PED的面积差，由此的求得y、x的函数关系式；
（3）当四边形ABEP的面积是△PED面积的5倍时，那么其面积是△ABD的，由此可求得四边形ABEP的面积，代入（2）的函数关系式中，即可求得AP的长，进而可根据AP、PD、AB、CD的长来判断出△PAB与△PDC是否相似．
点评：此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形、全等三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，综合性强，难度较大．