Question

6．如图，抛物线y=ax²-（a+1）x-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠BCO=45°，点M为线段BC上异于B、C的一动点，过点M与y轴平行的直线交抛物线于点Q，点R为线段QM上一动点，RP⊥QM交直线BC于点P．设点M的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当m=2时，△PQR为等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）①求PR+QR的最大值；②求△PQR面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）可先求得C点坐标，利用∠BCO=45°可求得B点坐标，代入抛物线解析式可求得a，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得Q的坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，设出P点坐标，则可表示出PR、QR的长，由等腰三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）①由题意可知PR=RM，故PR+QR=MQ，设出可用m表示出Q点坐标，则可表示出MQ的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；②用PR表示出△PQR的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）在y=ax²-（a+1）x-3中，令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），即OC=3，
∵∠BCO=45°，
∴OB=OC=3，
∴B（3，0），
把B点坐标代入抛物线解析式可得9a-3（a+1）-3=0，求得a=1，
∴抛物线的表达式为y=x²-2x-3；
（2）当m=2时，则M（2，0），
把x=2代入抛物线解析式可得y=-3，
∴Q（2，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC表达式为y=x-3，
∴可设P（p，p-3），则PR=2-p，QR=p-3-（-3）=p，
∵PR=QR，
∴2-p=p，解得p=1，
∴P（1，-2）；
（3）①由（2）可知M（m，m-3），Q（m，m²-2m-3），
∵PR⊥MQ，
∴∠MPR=45°，
∴MR=PR，
∴PR+QR=PR+MR=QM=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PR+QR取最大值$\frac{9}{4}$；
②∵PR+QR的最大值为$\frac{9}{4}$，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$PR•QR≤$\frac{1}{2}$PR（$\frac{9}{4}$-PR）=-$\frac{1}{2}$（PR-$\frac{9}{8}$）²+$\frac{81}{128}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴当PR=$\frac{9}{8}$时，△PQR的面积取得最大值$\frac{81}{128}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质及转化思想等知识．在（1）中求得B、C的坐标是解题的关键，在（2）用P点坐标表示出PR和QR和长是解题的关键，在（3）①中把PR+QR转化成QM是解题的关键，在②中把△PQR的面积用PR表示出来是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．