Question

2．如图，过圆O外一点P作圆O的两条割线PA、PC分别交圆O于Q、A，B、C，且OQ∥PC，圆O的半径是3cm．
（1）求证：△ABP是等腰三角形；
（2）若∠PAB=30°，求BC的长；
（3）若PA=x，AC=y，试确定y与x的函数关系式，并求出y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质以及等边对等角即可证明∠PAB=∠P，然后根据等角对等边即可证得；
（2）证明△ABC是直角三角形，利用三角函数即可求解；
（3）首先利用x表示出BC的长，在直角△ABC中利用勾股定理即可求得函数的解析式．

解答 （1）证明：∵OQ∥PC，
∴∠P=∠AQO，
又∵OA=OQ，
∴∠PAB=∠AQO，
∴∠PAB=∠P，
∴AB=BP，即△ABP是等腰三角形；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠C=90°，
又∵∠ABC=∠PAB+∠P=60°，
∴BC=AB•cos∠ABC=6×$\frac{1}{2}$=3（cm）；
（3）解：∵OQ∥PC，且O是AB的中点，
∴AQ=PQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$x，
∵PQ•PA=PB•PC，即$\frac{1}{2}$x•x=6×（6+BC），
∴BC=$\frac{{x}^{2}-72}{12}$，
则在直角△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{36-（\frac{{x}^{2}-72}{12}）^{2}}$，
即y=$\frac{\sqrt{144x-{x}^{2}}}{12}$．
∵-x²+144x=-（x-72）²+5184，
∴0＜y≤6．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及三角函数，在直角△ABC中，以及BC和AB求AC的长，并把所得的根式进行化简是关键．