Question

【题目】定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．

例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．

（1）当m＝0时

①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为 ；

②点（，﹣）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．

（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝　 　；

（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值为或．

【解析】

（1）①由相关函数的定义，将y＝x﹣1旋转变换可得相关函数为y＝x+1；

②将（，﹣）代入可得a的值，

（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；

（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．

解：（1）①∵一次函数y＝x﹣1，k=1,过（0，-1）

∴绕点P（0，0）旋转180°后k不变，过（0，1）

∴关于点P的相关函数为y＝x+1，

故答案为：y＝x+1；

②∵，

∴y＝﹣ax2﹣ax+1关于点P（0，0）的相关函数为，

∵点A（，﹣）在函数的图象上，

∴，

解得a＝，

（2）∵函数y＝（x﹣1）2+2的顶点为（1，2），函数y＝﹣（x+3）2﹣2的顶点为（﹣3，﹣2），

这两点关于中心对称，

∴，

∴m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

（3）∵，

∴关于点P（m，0）的相关函数为，

①当，即m≤﹣2时，y有最大值是6，

∴，

∴，（不符合题意，舍去），

②当时，即﹣2＜m≤4时，当时，y有最大值是6，

∴

∴，（不符合题意，舍去），

③当，即m＞4时，当x＝m+2时，y有最大值是6，

∴，

∴（不符合题意，舍去），

综上，m的值为或．