Question

已知AD∥BC，AB=DC，BD=AC，M是AO中点，N是OB中点，∠BOC=60°，E是DC中点，求证：△EMN是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定

专题：证明题

分析：连接DM、CN，如图，先根据等腰梯形的性质得AB=DC，OA=OD，OB=OC，再由∠BOC=60°可判断△OBC和△OAD都为等边三角形，则根据等腰三角形的性质由
M、N分别为OA、OB的中点得到DM⊥OA，CN⊥OB，接着根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=

1

2

CD，NE=

1

2

CD；然后利用三角形中位线性质得到MN=

1

2

AB=

1

2

CD，所以MN=ME=NE，于是可判断△EMN为等边三角形．

解答：证明：连接DM、CN，如图，

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
∴AB=DC，OA=OD，OB=OC，
∵∠BOC=60°，
∴△OBC和△OAD都为等边三角形，
∵M、N分别为OA、OB的中点，
∴DM⊥OA，CN⊥OB，
在Rt△CDE中，
∵点E为斜边CD的中点，
∴ME=

1

2

CD，
同理可得NE=

1

2

CD，
∵M、N分别为OA、OB的中点，
∴MN为△OAB的中位线，
∴MN=

1

2

AB，
∴MN=

1

2

CD，
∴MN=ME=NE，
∴△MNE为等边三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．也考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线性质和直角三角形斜边上的中线性质．