Question

18．如图（1），已知矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（9，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段OC上的动点，设OP=m，D在直线y=$\frac{3}{2}$x+6上
（1）若△APD等腰直角三角形，∠PAD=90°，点D在第三象限，求点D的坐标；
（2）若m=$\frac{13}{2}$，连接OB，点M是OB上的动点，求MP+MC的最小值；
（3）如图（2），直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形，且∠PDA=90°？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据P是线段OC上的动点，OP=m，设点P的坐标是（m，0），再根据∠PAD=90°，可得PA⊥AD，据此求出点P的坐标是多少；然后根据D在直线y=$\frac{3}{2}$x+6上，且AD=PA，求出点D的坐标是多少即可．
（2）首先求出点C关于OB对称点C′的坐标是多少；然后判断出当点C′、M、P在同一条直线上时，MP+MC取到最小值，且等于C′P，据此求出MP+MC的最小值是多少即可．
（3）直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后，在该直线上，存在点D（6，6），使△APD是等腰直角三角形，且∠PDA=90°．首先求出直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后的解析式是y=$\frac{3}{2}$x-3；然后求出直线y=$\frac{3}{2}$x-3与直线AB的交点是（6，6），即可判断出存在点D（6，6），使△APD是等腰直角三角形，且∠PDA=90°，此时点P的坐标是（6，0）．

解答 解：（1）如图（1），，
∵P是线段OC上的动点，OP=m，
∴设点P的坐标是（m，0），
∵∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∵AD所在的直线的斜率是$\frac{3}{2}$，
∴PA所在的直线的斜率是-$\frac{2}{3}$，
∵四边形ABCO为矩形，且B的坐标为（9，6），
∴点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（9，0），
∴$\frac{6}{-m}$=-$\frac{2}{3}$，
解得m=9，
∴点P的坐标为（9，0），点P和点C重合，
∴PA=$\sqrt{{6}^{2}{+9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
又∵△APD等腰直角三角形，
∴AD=PA=3$\sqrt{13}$，
∵D在直线y=$\frac{3}{2}$x+6上，
∴设点D的坐标为（n，$\frac{3}{2}$n+6），
∴$\sqrt{{n}^{2}{+（\frac{3}{2}n+6-6）}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
解得n=6或n=-6，
∵点D在第三象限，
∴n=-6，
∴点D的坐标是（-6，-3）．

（2）如图（2），，
∵B的坐标为（9，6），
∴OB所在的直线的解析式是y=$\frac{2}{3}$x，
设点C关于OB对称点C′的坐标是（c，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d}{c-9}×\frac{2}{3}=-1}\\{\frac{d}{2}=\frac{2}{3}×\frac{c+9}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{45}{13}}\\{d=\frac{108}{13}}\end{array}\right.$
∴点C′的坐标是（$\frac{45}{13}$，$\frac{108}{13}$），
∵点C关于OB对称点是C′，
∴MC′=MC，
∴当点C′、M、P在同一条直线上时，MP+MC取到最小值，且等于C′P，
∵m=$\frac{13}{2}$，
∴点P的坐标是（$\frac{13}{2}$，0），
∴C′P=$\sqrt{{（\frac{45}{13}-\frac{13}{2}）}^{2}{+（\frac{108}{13}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{313}}{2}$，
∴MP+MC的最小值是$\frac{\sqrt{313}}{2}$．

（3）直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后，在该直线上，存在点D（6，6），使△APD是等腰直角三角形，且∠PDA=90°．
如图（3），，
直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后的解析式是：
y=$\frac{3}{2}$（x-6）+6=$\frac{3}{2}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-3}\\{y=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=6}\end{array}\right.$
∴直线y=$\frac{3}{2}$x-3与直线AB的交点是（6，6），
∴直线y=$\frac{3}{2}$x+6向右平移6个单位后，在该直线上，存在点D（6，6），使△APD是等腰直角三角形，且∠PDA=90°，此时点P的坐标是（6，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．
（3）此题还考查了直线的平移，以及最值的求法，要熟练掌握．