Question

2．已知：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB．
（1）求证：EF=AC；
（2）若AB=8，AC=4，BC=7，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）因为EF∥AB，由平行线分线段成比例定理得$\frac{AB}{EF}=\frac{BD}{DE}$；根据角平分线的性质有$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，再由ED=CD即可得证；
（2）由（1）所得到的比例关系和线段和差关系即可求得BE的长．

解答 （1）证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵∠1=∠2，
∴DM=DN，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，
∵S_△ABD：S_△ACD=BD：CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．
∵EF∥AB，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{DB}{DE}$；
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{EF}{DE}=\frac{AB}{BD}$，
又∵CD=DE，
∴EF=AC．
（2）由（1）得：
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}$
∴BD=2DC
∵BD+DC=7
∴DC=$\frac{7}{3}$，BD=$\frac{14}{3}$
∵EF∥AB
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{ED}{BD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
∴BD=2ED
∴2ED=$\frac{14}{3}$，ED=$\frac{7}{3}$
∴BE=BD-ED=$\frac{14}{3}$-$\frac{7}{3}$=$\frac{7}{3}$．

点评 此题考查平行线分线段成比例的性质及角平分线的性质，解决问题的关键是作出辅助线得出比比例式．