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2.已知:∠1=∠2,CD=DE,EF∥AB.
(1)求证:EF=AC;
(2)若AB=8,AC=4,BC=7,求BE的长.

分析 (1)因为EF∥AB,由平行线分线段成比例定理得$\frac{AB}{EF}=\frac{BD}{DE}$;根据角平分线的性质有$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$,再由ED=CD即可得证;
(2)由(1)所得到的比例关系和线段和差关系即可求得BE的长.

解答 (1)证明:过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,
∵∠1=∠2,
∴DM=DN,
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC,
∵S△ABD:S△ACD=BD:CD,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$.
∵EF∥AB,
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{DB}{DE}$;
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{EF}{DE}=\frac{AB}{BD}$,
又∵CD=DE,
∴EF=AC.
(2)由(1)得:
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}$
∴BD=2DC
∵BD+DC=7
∴DC=$\frac{7}{3}$,BD=$\frac{14}{3}$
∵EF∥AB
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{ED}{BD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
∴BD=2ED
∴2ED=$\frac{14}{3}$,ED=$\frac{7}{3}$
∴BE=BD-ED=$\frac{14}{3}$-$\frac{7}{3}$=$\frac{7}{3}$.

点评 此题考查平行线分线段成比例的性质及角平分线的性质,解决问题的关键是作出辅助线得出比比例式.

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