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如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上,高AD与HG的交点为M.

(1)求证:
(2)求这个矩形EFGH的周长.
(1)根据矩形的性质可得EF∥GH,即可证得△AHG∽△ABC,从而得到结论;(2)72cm

试题分析:(1)根据矩形的性质可得EF∥GH,即可证得△AHG∽△ABC,从而得到结论;
(2)由(1)得,设HE=x,则HG=2x,AM=AD-DM=AD-HE=30-x,即可得到关于x的方程,解出x的值,在根据矩形的周长公式求解即可.
(1)∵四边形EFGH为矩形
∴EF∥GH
∴∠AHG=∠ABC
又∵∠HAG=∠BAC
∴△AHG∽△ABC
;  
(2)由(1)得,设HE=x,则HG=2x,
AM=AD-DM=AD-HE=30-x
可得
解得x=12,2x="24"
所以矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72cm.
点评:相似三角形的应用是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考常见题,一般难度不大,需熟练掌握.
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