Question

【题目】（2016广西柳州市）如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足=PAPC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．

（1）求证：△PAE∽△PEC；

（2）求证：PE为⊙O的切线；

（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）连接BE，转化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，从而用直径所对的圆周角是直角，转化出∠OEP=90°即可；
（3）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．

（1）∵=PAPC，

∴，

∵∠APE=∠EPC，

∴△PAE∽△PEC；

（2）如图1，连接BE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠OBE=∠PCE，

∴∠OEB=∠PCE，

∵△PAE∽△PEC，

∴∠PEA=∠PCE，

∴∠PEA=∠OEB，

∵AB为直径，∴∠AEB=90°，

∴∠OEB+∠OEA=90°，

∵∠PEA+∠OEA=90°，

∴∠OEP=90°，

∵点E在⊙O上，

∴PE是⊙O的切线；

（3）如图2，过点O作OD⊥AC于M，

∴AM=AC，

∵BC⊥AC，

∴OD∥BC，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOD=30°，

∴OD=AM=AC，

∵AP=AC，

∴OD=AP，

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，

∴=PA×PC=PA×3PA，

∴PE=PA，

∴OD=PE，

∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，

∴△ODM≌△PDE，

∴OD=DP．