Question

【题目】如图，已知点D在反比例函数的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，2），过点A(,0)的直线y＝kx+b与y轴于点C，且BD＝2OC，tan∠OAC＝．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；

（3）点E为x轴上点A左侧的一点，且AE＝BD，连接BE交直线CA于点M，求tan∠BMC的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）AC⊥CD．理由见解析；（3）tan∠BMC＝2．

【解析】

(1)由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得0C的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；

(2)由条件可证明△AOC∽△COK，再由角的和差可求得∠OCA+∠OCK＝90°，可证得AC⊥CD；

(3) 作BH⊥CM于H．把A点,E点代入解析式可得M（﹣），求出CM＝ ，BM＝再利用S△BCM 求出BH即可解答

（1）∵A（﹣ ，0），B（0，2），

∴OA＝，OB＝2，

∵tan∠OAC＝，

∴OC＝1，BC＝3，

∵BD＝2OC，

∴BD＝2，

∵BD⊥BC，

∴B（2，2），

把B（2，2）代入y＝ 中，得到m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝ ．

（2）如图，设CD交x轴于K．

∵OK∥BD，

∴，

∴ ，

∴OK＝ ，

∵OC＝1，OA＝ ，

∴OC2＝OAOK，

∴ ，

∵∠AOC＝∠COK，

∴△AOC∽△COK，

∴∠OAC＝∠OCK，

∵∠OAC+∠OCA＝90°，

∴∠OCA+∠OCK＝90°，

∴∠ACK＝90°，

∴AC⊥CD．

（3）如图，作BH⊥CM于H．

∵A（﹣ ，0），C（0，﹣1），

∴直线AC的解析式为y＝﹣ x﹣1，

∵AE＝BD＝2，

∴OA＝2+＝ ，

∴E（﹣，0），∵B（0，2），

∴直线BE的解析式为y＝x+2，

由，

∴M（﹣），

∴CM＝ ，BM＝ ，

∵S△BCM＝ ×3× ＝××BH，

∴BH＝ ，

∴MH＝，

∴tan∠BMC＝＝2．