Question

已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线y=-x上一点，过O、D两点的圆⊙O₁分别交X轴、Y轴于点A和B，
（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求O₁的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A作⊙O₁的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）连AB，由∠AOB=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AB为⊙O₁的直径，即O₁在AB上，易通过A（-12，0），B（0，-5）得到O₁的坐标为（-6，-

5

2

）；
（2）过C、D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、F、G、E，连AD，设点D坐标为（-a，a），则DE=a，EB=a+5，GA=-a+12，根据勾股定理得到AB²=OA²+OB²=12²+5²=169，DB²=DE²+EB²=a²+（a+5）²，AD²=AG²+DG²=（-a+12）²+a²，由AB为⊙O₁的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，则AD²+DB²=AB²，即a²+（a+5）²+（-a+12）²+a²=169，可求出a=-

7

2

，确定点D坐标为（-

7

2

，

7

2

），
然后利用待定系数法确定直线BD的解析式为y=-

17

7

x-5，再设C点坐标为（m，n），则-

17

7

m-5=n，根据勾股定理得到AC²=CH²+AH²=n²+（m+12）²，BC²=CF²+BF²=m²+（n+5）²；根据切线的性质得到AB⊥AC，则AC²+AB²=BC²，即n²+（m+12）²+13²=m²+（n+5）²，整理得12m-5n+144=0，然后把n=-

17

7

m-5代入得12m-5×（-

17

7

m-5）+144=0，解得m=-7，则n=12，即可确定C点坐标．

解答：解：（1）连AB，如图，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙O₁的直径，即O₁在AB上，
∵A（-12，0），B（0，-5），
∴O₁的坐标为（-6，-

5

2

）；

（2）过C、D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、F、G、E，连AD，如图．
∵点D是直线y=-x上一点，
∴点D坐标可设为（-a，a），则DE=a，EB=a+5，GA=-a+12，
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=12²+5²=169，
在Rt△BDE中，DB²=DE²+EB²=a²+（a+5）²，
在Rt△ADG中，AD²=AG²+DG²=（-a+12）²+a²，
∵AB为⊙O₁的直径，∴∠ADB=90°，
∴AD²+DB²=AB²，∴a²+（a+5）²+（-a+12）²+a²=169，
∴a=-

7

2

，∴点D坐标为（-

7

2

，

7

2

）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（-

7

2

，

7

2

），B（0，-5）代入，
得

- 7 2 k+b= 7 2 b=-5

，
解得

k=- 17 7 b=-5

，
∴直线BD的解析式为y=-

17

7

x-5，
设C点坐标为（m，n），则-

17

7

m-5=n，
∴AC²=CH²+AH²=n²+（m+12）²，
BC²=CF²+BF²=m²+（n+5）²，
∵AC与⊙O₁切于A点，∴AB⊥AC，
∴AC²+AB²=BC²，∴n²+（m+12）²+13²=m²+（n+5）²，
∴12m-5n+144=0，
把n=-

17

7

m-5代入，
得12m-5×（-

17

7

m-5）+144=0，
解得m=-7，
∴n=-

17

7

×（-7）-5=12．
∴C点坐标为（-7，12）．

点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角为直角；点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式；利用待定系数法求函数的解析式；掌握运用勾股定理进行几何计算．