Question

【题目】如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为_______

Answer 1

【答案】

【解析】

如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC=DG，BF=FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC=BH，AD=AH，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，可得（x+4）2=42+（4-x）2，推出x=1，推出BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，根据AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，可得42+z2=2y2①，（5-y）2+y2=12+（4-z）2 ②，由此求出y即可解决问题．

解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，
∴∠BCF=∠FDG，
∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC=DG，BF=FG，
∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，
∴AB=AG，∵BF=FG，
∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC=BH，AD=AH，
由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，
在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，
∴（x+4）2=42+（4-x）2，
∴x=1，
∴BC=BH=TD=1，AB=5，
设AK=EK=y，DE=z，
∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，
∴42+z2=2y2 ①，
（5-y）2+y2=12+（4-z）2 ②
由②得到25-10y+2y2=5-8z+z2 ③，
①代入③可得z= ④
④代入①可得y=（负根已经舍弃），
∴S△ABE=×5×=，

故答案为：