Question

3．如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，M为BD上任一点，ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，求证：$\frac{MF}{BC}$+$\frac{ME}{AD}$=1．

Answer 1

分析 由EM∥AD，MF∥BC，推出$\frac{MF}{BC}$=$\frac{DM}{DB}$，$\frac{EM}{AD}$=$\frac{BM}{BD}$，两式相加即可证明．

解答 证明：∵∠A=∠C=90°，M为BD上任一点，ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，
∴∠BEM=∠A=90°，∠MFD=∠C=90°，
∴EM∥AD，MF∥BC，
∴$\frac{MF}{BC}$=$\frac{DM}{DB}$，$\frac{EM}{AD}$=$\frac{BM}{BD}$，
∴$\frac{MF}{BC}$+$\frac{ME}{AD}$=$\frac{DM}{DB}$+$\frac{BM}{BD}$=$\frac{DM+BM}{BD}$=$\frac{BD}{BD}$=1．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．