Question

4．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），且tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，与抛物线y=ax²+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．
（1）求a的值；   
（2）能否将抛物线y=ax²+2平移使得平移后的抛物线经过点A？

Answer 1

分析 （1）根据题意求得点A、B的坐标，作PC⊥OA于C，根据三角形面积求得P的纵坐标，然后根据平行线分线段成比例求得点P的横坐标，代入二次函数即可求解．将P点坐标代入解析式，列方程求出a值即可．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+2+k，代入A的坐标求得k即可．

解答 解：（1）∵直线AB经过点B（0，6），且tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，
∴OB=6，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵△AOP的面积为6，
设点P的坐标为（m，n），
∴$\frac{1}{2}$×4×n=6，
∴n=3．
作PC⊥OA于C，
∴PC∥OB，
∴$\frac{PC}{OB}$=$\frac{AC}{OA}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{AC}{4}$，
∴AC=2，
∴P的横坐标为m=4-2=2，
∵点P在抛物线y=ax²+2上，
∴3=4a+2，
∴a=$\frac{1}{4}$．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+2+k，
把A（4，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+2+k得，4+2+k=0，
解得k=-6，
∴将抛物线y=ax²+2向下平移6个单位，使得平移后的抛物线经过点A．

点评 本题考查了二次函数的图象与几何变换，求得P点的坐标是解题的关键．