【题目】如图,矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上,线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0(OA>OC),直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点,将△BCN沿直线BN折叠,点C恰好落在直线MN上的点D处,且tan∠CBD=
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BN的解析式;
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移,求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t(0<t≤13)的函数关系式.
【答案】
(1)解:∵|x﹣15|+ =0,
∴x=15,y=13,
∴OA=BC=15,AB=OC=13,
∴B(15,13)
(2)解:如图1,过D作EF⊥OA于点E,交CB于点F,
由折叠的性质可知BD=BC=15,∠BDN=∠BCN=90°,
∵tan∠CBD= ,
∴ = ,且BF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,
∴CF=OE=15﹣12=3,DE=EF﹣DF=13﹣9=4,
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°,且∠ONM+∠CND=180°,
∴∠ONM=∠CBD,
∴ = ,
∵DE∥ON,
∴ = = ,且OE=3,
∴ = ,解得OM=6,
∴ON=8,即N(0,8),
把N、B的坐标代入y=kx+b可得 ,解得 ,
∴直线BN的解析式为y= x+8
(3)解:设直线BN平移后交y轴于点N′,交AB于点B′,
当点N′在x轴上方,即0<t≤8时,如图2,
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形,且NN′=t,
∴S=NN′OA=15t;
当点N′在y轴负半轴上,即8<t≤13时,设直线B′N′交x轴于点G,如图3,
∵NN′=t,
∴可设直线B′N′解析式为y= x+8﹣t,
令y=0,可得x=3t﹣24,
∴OG=24,
∵ON=8,NN′=t,
∴ON′=t﹣8,
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ (t﹣8)(3t﹣24)=﹣ t2+39t﹣96;
综上可知S与t的函数关系式为S=
【解析】(1)由两个非负数的和为0,每个非负数均为0可得x=15,y=13,即B(15,13);(2)要利用三角函数tan∠CBD= ,就须过D作垂线,把∠CBD放在直角三角形中,再由平行线分线段成比例列出方程,求出OM=6,利用待定系数法求出直线BN的解析式;(3)须动手操作平移BN,可发现扫过的图形分为平行四边形和五边形两种,当NN′B′为平行四边形时面积利用底高;当扫过面积为五边形时,用作差法S四边形BNN′B′﹣S△OGN′,用t 的代数式表示两部分面积即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数关系式(用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式).
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【题目】已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B后出发几个小时?B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
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【题目】某学校的平面示意图如图所示,实验楼所在位置的坐标为(-2,-3),教学楼所在位置的坐标为(-1,2),
(1)请确定图书馆所在位置的坐标.
(2)某人在校门位置,请用方向与距离的方法表示实验楼.
(3)连接图书馆与校门的线段向右平移5个单位,则平移后的线段上任意一点怎样表示?
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【题目】如图,在ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)已知∠DAB=60°,AF是∠DAB的平分线,若AD=3,求DC的长度.
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【题目】如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处.
(1)求线段BE的长;
(2)连接BF、GF,求证:BF=GF;
(3)求四边形BCFE的面积.
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【题目】如图,已知DE∥BC,BE平分∠ABC,∠C=65°,∠ABC=50°.
(1)求∠BED的度数;
(2)判断BE与AC的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交于A,B两点,点A和点B的横坐标分别为1和﹣2,这两点的纵坐标之和为1.
(1)求反比例函数的表达式与一次函数的表达式;
(2)当点C的坐标为(0,﹣1)时,求△ABC的面积.
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【题目】如图,图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)则下列命题中正确的有(填序号)
①abc>0;②b2<4ac;③4a﹣2b+c>0;④2a+b>c.
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