Question

15．如图，设△ABC的面积为1，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，AD=$\frac{1}{m}$AB，BE=$\frac{1}{n}$BC，CF=$\frac{1}{p}$CA，且满足m+n+p=9，m²+n²+p²=29．m³+n³+p³=99，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 先表示出△ABC和△BDE的面积，继而得出S₁=$\frac{1}{m}（1-\frac{1}{p}）$，同理：S₂=$\frac{1}{n}（1-\frac{1}{m}）$，S₃=$\frac{1}{p}（1-\frac{1}{n}）$，即可得出S₁+S₂+S₃=$\frac{mn+np+pm-（m+n+p）}{mnp}$，再用m+n+p=9，m²+n²+p²=29，求出mn+np+pm=$\frac{1}{2}$[（m+n+p）²-（m²+n²+p²）]=26，进而利用m³+n³+p³-3mnp=（m+n+p）（m²+n²+p²-mn-np-pm），求出mnp=24，即可求出S₁+S₂+S₃的值，最后做差即可．

解答 解：设S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CEF=S₃，
如图1，

过点B作BM⊥AC于M，
在Rt△ABM中，BM=ABsinA，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=1，
同理：S₁=$\frac{1}{2}$AD•AFsinA，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}={S}_{1}=\frac{\frac{1}{2}AD•AFsinA}{\frac{1}{2}AB•ACsinA}$=$\frac{AD}{AB}$•$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{m}（1-\frac{1}{p}）$，
同理：S₂=$\frac{1}{n}（1-\frac{1}{m}）$，S₃=$\frac{1}{p}（1-\frac{1}{n}）$，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{1}{m}（1-\frac{1}{p}）$+$\frac{1}{n}（1-\frac{1}{m}）$+$\frac{1}{p}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{mn+np+pm-（m+n+p）}{mnp}$，
∵m+n+p=9，m²+n²+p²=29，
∴mn+np+pm=$\frac{1}{2}$[（m+n+p）²-（m²+n²+p²）]=26，
∵m³+n³+p³-3mnp=（m+n+p）（m²+n²+p²-mn-np-pm），
∴mnp=24，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{26-9}{24}$=$\frac{17}{24}$，
∴S_△DEF=S_△ABC-（S₁+S₂+S₃）=$\frac{7}{24}$．

点评 此题是面积与等积变形，主要考查了三角形的面积公式，三个数的完全平方公式，解本题的关键是得出m³+n³+p³-3mnp=（m+n+p）（m²+n²+p²-mn-np-pm），是一道难度比较大的题目．