Question

13．下面是一个研究性解题案例，请补充完整：
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=90°，∠ADC=135°
（1）探究发现
当点P在线段AD上时（点P不与A、D重合），连接PB，作PE⊥PB，交直线CD于点E，猜想线段PB和PE的数量关系：PB=PE．
（2）猜想论证
为了证明（1）中的猜想，小明尝试在AB上截取BF=PD，连结PF，请你完成以下的证明．
（3）拓展探究
若点P为DA延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请画出相应图形，并直接给出判断．

Answer 1

分析 （1）通过观察和测量可猜想PB=PE；
（2）首先证明△APF为等腰直角三角形，于是得到∠AFP=45°，从而可求得∠BFP=∠PDE=135°，然后依据同角的余角相等可证明∠DPE=∠PBF，接下来依据ASA证明△PFB≌△EDP，依据全等三角形的性质可得到PB=PE；
（3）延长AB到F使AF=PA，连结PF．题意可知△PFA为等腰直角三角形，于是可证明∠PFB=∠EDP=45°，然后依据同角的余角相等可证明∠PBA=∠EPD，接下来证明PD=BF，依据ASA可证明△PED≌△BPF，于是可得到PE=PB．

解答 解：（1）PB=PE．
（2）如图1所示：

∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°．
∵AB=AD，BF=PD，
∴AF=AP．
∴∠AFP=45°．
∴∠BFP=135°．
∴∠BFP=∠PDE．
∵∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPE=90°．
又∵∠APB+∠PBF=90°，
∴∠DPE=∠PBF．
在△PFB和△EDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFP=∠PDE}\\{BF=PD}\\{∠DPE=∠PBF}\end{array}\right.$，
∴△PFB≌△EDP．
∴PB=PE．
故答案为：PB=PE．
（3）成立．
理由：如图2所示：延长AB到F使AF=PA，连结PF．

∵FA=PF，∠A=90°，
∴∠F=45°．
∵∠ADC=135°，
∴∠EDP=45°．
∴∠PFB=∠EDP．
∵∠EPD+DPB=90°，∠DPB+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠EPD．
∵AF=PA，AB=AD，
∴PD=BF．
在△PED和△BPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠EDP}\\{PD=BF}\\{∠PBA=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴△PED≌△BPF．
∴PE=PB．

点评 本题主要考查的是主要考查的是四边形，三角形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．