已知甲同学手中藏有三张分别标有数字$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{4}$.1的卡片.乙同学手中藏有三张分别标有数字1.3.2的卡片.卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片.并将它们的数字分别记为a.b．(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果,(2)现制定一个游戏规则:若所选出的a.b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1、3、2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；
（2）现制定一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请用概率知识解释．

分析（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．

解答解：（1）画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果；

（2）∵（a，b）的可能结果有（$\frac{1}{2}$，1）、（$\frac{1}{2}$，3）、（$\frac{1}{2}$，2）、（$\frac{1}{4}$，1）、（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{1}{4}$，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴当a=$\frac{1}{2}$，b=1时，△=b²-4ac=-1＜0，此时ax²+bx+1=0无实数根，
当a=$\frac{1}{2}$，b=3时，△=b²-4ac=7＞0，此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=$\frac{1}{2}$，b=2时，△=b²-4ac=2＞0，此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=$\frac{1}{4}$，b=1时，△=b²-4ac=0，此时ax²+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a=$\frac{1}{4}$，b=3时，△=b²-4ac=8＞0，此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=$\frac{1}{4}$，b=2时，△=b²-4ac=3＞0，此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b²-4ac=-3＜0，此时ax²+bx+1=0无实数根，
当a=1，b=3时，△=b²-4ac=5＞0，此时ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b²-4ac=0，此时ax²+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）=$\frac{5}{9}$，P（乙获胜）=1-$\frac{5}{9}$=$\frac{4}{9}$，
∴P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．

点评本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

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