Question

将一副三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1．固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合．现让三角板DEF绕点O旋转，保证DF，DE分别交AB、AC于点M、N．试探求AN：BM的值．
（2）交换两块三角板的位置（如图2）．固定直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D于点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，AN：BM的值又会如何变化？
（3）通过上述操作与探求，试想如果将三角板换成任意直角三角形，那么AN：BM的值有规律可循吗？

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°-∠AOM，
∴△MBO≌△NAO，
∴AN：BM=1：1=1．

（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO=∠MBO，
又∵∠BOM=90°-∠AOM，
∠AON=90°-∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO∽△NAO，
∴AN：BM=AO：BO=tan∠B=tan30°=；

（3）通过上述操作与探求，试想如果将三角板换成任意直角三角形，那么AN：BM的值有规律可循，比值不变仍旧是tanB的值．
分析：（1）此题可通过证三角形的全等来求解；在△BOM和△AON中，由于△ABC是等腰直角三角形，易得OA=OB，∠OAN=∠B=45°，而∠BOM、∠AON是同角的余角，由此可证得两个三角形全等，即AN、BM的比例关系为1．
（2）此题思路和（1）相同，只不过全等换成了相似，AO：OB=1：1换成了AO：OB=1：；
（3）通过上述操作与探求，试想如果将三角板换成任意直角三角形，那么AN：BM的值有规律可循，比值不变仍旧是tanB．证明思路和（2）一样．
点评：此题主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数值，难度不大．