Question

8．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．

（1）如图1，当BD=2时，AN=$\sqrt{10}$，NM与AB的位置关系是垂直；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{10}$，根据直角三角形的性质得到AN=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{10}$，AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；
（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，
∴CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{10}$，
∵N为ED的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{10}$，
∵M为AB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AN}{AD}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{AM}{AC}$，
∵∠CAB=∠DAN=45°，
∴∠CAD=∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN=∠C=90°，
∴MN⊥AB，
故答案为：$\sqrt{10}$，垂直；

（2）①补全图形如图2所示，
②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，
理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAN+∠NAM=45°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵N为ED的中点，
∴$∠DAN=\frac{1}{2}∠DAE=45°$，AN⊥DE，
∴∠CAN+∠DAC=45°，
∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，$\frac{AN}{AD}=cos∠$DAN=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AN}$，
∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，
∴△ANM∽△ADC，
∴∠AMN=∠ACD，
∵D在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，
∴∠AMN=90°，
∴MN⊥AB；


（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，
则△AKB等腰直角三角形，
在△ADK与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AK=AB}\\{∠KAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，
∴MG=2，
∵∠G=90°，
∴ME≥MG，
∴当ME=MG时，ME的值最小，
∴ME=BE=2，
∴DK=BE=2，
∵CK=BC=4，
∴CD=2，
∴BD=6，
∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．