Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D（， ）；（2）G（0， ），（3）P点坐标为（， ）或（，﹣）．

【解析】试题分析：（1）先由直线y=x﹣2与x轴的交点求出A点和C点的坐标，再用待定系数法求出求抛物线解析式即可；

（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），用待定系数法求出直线B'D的解析式，再求与y轴的交点坐标即可；

（3）分AP=AB和BP=AB=3两种情况求解.

解：（1）把x=0代入直线y=x﹣2中，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

把y=0代入直线y=x﹣2中，x=4，

∴A（4，0），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线y=ax2+bx+c中得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2=﹣（x2﹣5x+﹣）﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴顶点D（，），

（2）存在，

如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），

设直线B'D的解析式为：y=kx+b，

则，解得：，

∴直线B'D的解析式为：y=x+，

∴G（0，），

∴存在点G（0，），使得GD+GB的值最小；

（3）∵对称轴x=，且A（4，0），B（1，0），

设P（，m），且AB=4﹣1=3，

分两种情况：

①当AP=AB=3时，即AP==3，

解得：m=±，

②当BP=AB=3时，即BP==3，

解得：m=，

综上所述，P点坐标为（，）或（，﹣）．