Question

（2012•和平区二模）已知抛物线y₁=a（x-2）²-4（a≠0）经过点（0，-3），顶点为M，将抛物线y₁向上平移b个单位可使平移后得到的抛物线y₂经过坐标原点，抛物线y₂的顶点为A，与x轴的另一个交点为B．

（1）求a的值；
（2）①b=

3

，②抛物线y₂的函数表达式是

y₂=

1

4

（x-2）²-1

；
（3）①点P是y轴上一点，当|PA-PB|的值最大时，求点P的坐标；
②点E是x轴上一点，在抛物线y₂上是否存在点F，使O（原点）、M、E、F四点构成以OM为一边的平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将（0，-3）代入y₁=a（x-2）²-4（a≠0）中，即可求得a的值．
（2）抛物线y1经过（0，-3），向上平移后经过原点即可（0，0），因此抛物线向上平移了3个单位，根据“上加下减”的平移规律即可得出y₂的函数表达式．
（3）①当P、A、B三点不在同一直线上时，能构成△PAB，由三角形三边关系定理不难看出|PA-PB|＜AB；若P、A、B三点共线时，|PA-PB|=AB，显然当|PA-PB|的值最大时，P、A、B三点共线，所以直接求出直线AB的解析式，该直线与y轴的交点即为符合条件的P点；
②点O、M已经确定了具体坐标，且OM是平行四边形的边，所以只考虑另一边EF即可，由于点E在x轴上，且OM

∥

.

EF，所以可分两种情况讨论：
Ⅰ、点F在x轴下方，此时MF必与OB平行，即MF平行于x轴，此时M、F两点的纵坐标相同，由题意（y₂由y₁向上平移所得）可知，点F不可能在y₂上，这种情况不成立；
Ⅱ、点F在x轴下方，由于平行四边形是中心对称图形，那么此时M、F的纵坐标互为相反数，可据此确定点F的坐标．

解答：解：（1）抛物线y₁=a（x-2）²-4（a≠0）经过点（0，-3），可得：
-3=a（0-2）²-4，
解得：a=

1

4

．

（2）∵经过（0，-3）的抛物线y1向上平移，经过（0，0）得到抛物线y2，
∴向上平移了3个单位，即b=3；
故抛物线y₂：y₂=

1

4

（x-2）²-4+3=

1

4

（x-2）²-1．

（3）①∵|PA-PB|≤AB，且当且仅当P、A、B共线时取等号，
∴|PA-PB|的值最大时，P、A、B共线；
由（2）的抛物线解析式知：A（2，-1）、B（4，0），设直线AB的解析式：y=kx+b，有：

2k+b=-1 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

故直线AB：y=

1

2

x-2，则P（0，-2）．
②易知M（2，-4），分两种情况讨论：
Ⅰ、点F在x轴下方时，由于OM是平行四边形的边，则MF∥x轴，即F点的纵坐标为-4，显然点F不可能在抛物线y₂上，此种情况不成立；
Ⅱ、点F在x轴上方时，由于平行四边形是中心对称图形，所以F点的纵坐标为4；
当y₂=4时，

1

4

（x-2）²-1=4，解得：x=2±2

5

则F（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）；
综上，存在符合条件的F点，且坐标为（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移规律、三角形三边关系定理以及平行四边形的判定等重要知识；（3）的难度较大，利用几何知识找出解题的思路是解题的关键，着重体现了数形结合的重要性．