如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，⊙O过C、D两点且分别交边AC、BC于点E、F，连接CO、EF．下列结论：分析 （1）由中线倍长将三条线段转移到一个三角形当中，然后判定这个三角形为直角三角形即可．
（2）要求圆的面积的取值范围，就是求半径的取值范围，而EF是直径，从而将问题转化为求EF长度的取值范围．注意到CD长度是不变的，且是圆的一条弦，连接OD由三角形三边关系可知CD就是直径的最小值，由于E点只能在AC上运动，所以当E点取极端位置（与A点或C点重合）时，EF取最大值，由此确定圆面积的取值范围．
（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，此论断描述有误．
（4）设CE=b，CF=a，由勾股定理得出4a+3b=25，和为定值，由此考虑利用均值不等式判断出△CEF面积最大时的条件为 4a=3b，再看这一条件能否等价推出CO垂直AB，从而作出判断．
解答 解：（1）如图1，连接DF、DE，延长FD至G，使DG=DF，连接EG、AG．
∵AD=BD，∠ADG=∠BDF，
从而△AGD与△BFD全等，
∴AG=BF，∠FBD=∠GAD，
∴AG∥BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAG=90°，
∴AE2+AG2=EG2，
又∵EF是直径，
∴∠EDF=90°，
∴EF=EG，
∴AE2+BF2=EF2，故①正确．
（2）设圆的半径为R，连接CO、OD，如图1，
则CO+OD≥CD，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=10，
∴CD=5，
∵CO=OD=R，
∴2R≥5，
∴R≥$\frac{5}{2}$，
∴S≥$\frac{25}{4}$π，
当E点与A点重合时（与C点重合也一样），如图2所示，
此时FD重直平分AB，
∴EF=BF，
设EF=BF=x，则CF=8-x
在直角三角形ACF中，AC2+CF2=EF2，
即36+（8-x）2=x2，解得x=$\frac{25}{4}$，
∴S≤$\frac{625}{64}$π，故②错误；
（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，故此判断描述错误；
（4）如图3，设CF=a，CE=b，
则AE=6-b，BF=AG=8-a，
∵EG=EF，
∴AE2+AG2=CE2+CF2，
即（6-b）2+（8-a）2=a2+b2，
∴4a+3b=25，
∵4a+3b≥2$\sqrt{12ab}$，
∴$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{625}{96}$，当且仅当4a=3b，$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$时，△CEF取最大值，
∵$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，
故△CEF∽△CBA，
∴∠OCF=∠OFC=∠CAB，∠OCE=∠OEC=∠CBA，
∴∠OCF+∠CBA=90°，即CO⊥AB，
由此可知④正确．
点评 此题考查了勾股定理、全等三角形、圆的性质、等腰三角形、三角形三边关系、极端原理、最值求法、相似三角形等多个知识点，综合性很强，难度较大．
考前必练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数．若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面和上面看的形状相同，则拿掉的立方块数量最多是（ ）| A． | 2个 | B． | 3个 | C． | 4个 | D． | 5个 |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知点E，F在AC上，AD∥BC，DF=BE，添加的一个条件（不要在图中增加任何字母和线），使△ADF≌△CBE．你添加的条件是：∠D=∠B．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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如图，点E在AB上，∠CEB=∠B．∠ACD=∠ECB，∠D=∠A，求证：CD=CA．