Question

12．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是5，点A为⊙O上一点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，若四边形ABOC的面积为12，写出一个符合条件的点A的坐标（3，4）．

Answer 1

分析 设点A坐标为（x，y），由圆的半径为5可得x²+y²=25，根据矩形的面积为xy=12或xy=-12，分情况分别解$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=12}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=-12}\end{array}\right.$可得点A的坐标．

解答 解：设点A坐标为（x，y），
则AO²=x²+y²=25，
由xy=12或xy=-12，
当xy=12时，
可得（x+y）²-2xy=25，即（x+y）²-24=25，
∴x+y=7或x+y=-7，
①若x+y=7，即y=7-x，代入xy=12得x²-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，y=4；当x=4时，y=3；
即点A（3，4）或（4，3）；
②若x+y=-7，则y=-7-x，代入xy=12得：x²+7x+12=0，
解得：x=-3或x=-4，
当x=-3时，y=-4；当x=-4时，y=-3；
即点A（-3，-4）或（-4，-3）；

当xy=-12时，
可得（x+y）²-2xy=25，即（x+y）²+24=25，
∴x+y=1或x+y=-1，
③若x+y=1，即y=1-x，代入xy=-12得x²-x-12=0，
解得：x=-3或x=4，
当x=-3时，y=4；当x=4时，y=-3；
即点A（-3，4）或（4，-3）；
④若x+y=-1，则y=-1-x，代入xy=-12得：x²+x-12=0，
解得：x=3或x=-4，
当x=3时，y=-4；当x=-4时，y=3；
即点A（3，-4）或（-4，3）；
故答案为：（3，4），（答案不唯一）．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握两点的距离公式和解二元二次方程组是解题的关键．