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    2．如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．

    （1）求证：△ADE∽△CDF；
    （2）求∠DEF的度数；
    （3）设BE的长为x，△BEF的面积为y．
    ①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；
    ②当y为最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．

    分析 （1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根据余角的性质得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
    （2）解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$，根据矩形的性质得到AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据三角函数的定义即可得到结论；
    （3）①根据相似三角形的性质得到CF=3-$\sqrt{3}$x，根据三角形的面积公式得到函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；②根据当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值，得到BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，根据相似三角形的想得到CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到BE=DG，由于BE∥DG，即可得到结论．

    解答 解：（1）在矩形ABCD中，
    ∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
    ∴∠A=∠DCF=90°，
    ∵DF⊥DE，
    ∴∠A=∠EDF=90°，
    ∴∠ADE=∠CDF，
    ∴△ADE∽△CDF；

    （2）∵BC=1，∠DBC=60°，
    ∴CD=$\sqrt{3}$，
    在矩形ABCD中，
    ∵AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，
    ∵△ADE∽△CDF，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∵tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$，
    ∴$\frac{DF}{DE}$=$\sqrt{3}$，
    ∴∠DEF=60°；

    （3）①∵BE=x，
    ∴AE=$\sqrt{3}$-x，
    ∵△ADE∽△CDF，
    ∴$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴CF=3-$\sqrt{3}$x，
    ∴BF=BC+CF=4-$\sqrt{3}$x，
    ∴y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x（4-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x2+2x，
    ∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x2+2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值；
    ②y为最大值时，此时四边形BGDE是平行四边形，
    ∵当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值，
    ∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，
    ∵CG∥BE，
    ∴△CFG∽△BFE，
    ∴$\frac{CG}{BE}=\frac{CF}{BF}$，
    ∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴DG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴BG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴BE=DG=BG，∵BE∥DG，
    ∴四边形BGDE是菱形．

    点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，二次函数的最大值，平行四边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

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