【题目】如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是半圆的切线.
(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F,求证:FD=FG.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°,即∠ABC+∠CAB=90°,而∠MAC=∠ABC,则∠MAC+∠BCA=90°,即∠MAB=90°,根据切线的判定即可得到结论;
(2)连AD,根据圆周角定理推论得到∠ABC=90°,由DE⊥AB得到∠DEB=90°,则∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,又
D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,得到∠3=∠5,于是∠1=∠4,利用对顶角相等易得∠1=∠2,则有FD=FG.
(1)证明:∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠CAB=90°,
而∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠BCA=90°,即∠MAB=90°,
∴MN是半圆的切线;
(2)如图
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
而DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,
∵D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,
∴∠3=∠5,
∴∠1=∠4,
而∠2=∠4,
∴∠1=∠2,
∴FD=FG.
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【题目】阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为,排在第二位的数称为第二项,记为,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为.所以,数列的一般形式可以写成:,,,…,.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中,,公差为.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,…的公差d为______,第5项是______.
(2)如果一个数列,,,…,…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:,,,…,,….
所以,
,
,
……,
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:(______)d.
(3)是不是等差数列,,…的项?如果是,是第几项?
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【题目】三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度是_____.
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【题目】如图:已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时,它是菱形;B. 当∠ABC=90°时,它是矩形;
C. 当AC=BD时,它是正方形;D. 当AC⊥BD时,它是菱形.
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【题目】关于二次函数y=mx2-x-m+1(m≠0).以下结论:
①不论m取何值,抛物线总经过点(1,0);②若m<0,抛物线交x轴于A、B两点,则AB>2;③当x=m时,函数值y≥0;④若m>1,则当x>1时,y随x的增大而增大.其中正确的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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【题目】教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.
例2 如图,在中,分别是边的中点,相交于点,求证:,
证明:连结.
请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.
结论应用:在中,对角线交于点,为边的中点,、交于点.
(1)如图②,若为正方形,且,则的长为 .
(2)如图③,连结交于点,若四边形的面积为,则的面积为 .
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【题目】为了了解某学校七年级4个班共180人的体质健康情况,从各班分别抽取同样数量的男生和女生组成一个样本,把体质情况量化得分,规定得分x满足x<60为不及格,60≤x<80为及格,80≤x<90为良好,≥90为优秀,下图是根据样本数据绘制的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次抽查的样本容量是
(2)请补全条形图上的数字和扇形图中的百分数.
(3)请你估计全校七年级得分不低于90分的约有多少人.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别相交于点,点在射线上,点在射线上,且,以为邻边作平行四边形.设点的坐标为,平行四边形在轴下方部分的面积为.求:
(1)线段的长;
(2)关于的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
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