Question

圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点

　

(1)求证：AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°． 　　而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴． 　　∴AC·CD＝PC·BC　　3分 　 　　(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E． 　　∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2． 　　又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝． 　　从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝　　7分 　　(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC． 　　∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值； 　　而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝　　10分