Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，-1）和点B（3，-9），而且点C（m，m）、D（4-m，m）均在图象上，其中m≠2．
（1）求该二次函数的解析式以及实数m的值；
（2）如果动点P位于抛物线上的弧AB与线段AB所围成的区域（不包括边界）内，自点P作与x轴垂直的直线l，l分别与直线AB、抛物线相交于点M、N（M在N的上方），试求线段MN长的最大值．

Answer 1

分析：（1）由待定系数法将点A和点B代入二次函数y=ax²+bx+c得出a，b的关系式，再将点C、D代入，得出a、b、m、n的关系式，再因式分解，从而求得a，b，c，m的值，即得出二次函数的解析式；
（2）可求得直线AB的解析式，设点P（x，y），则M（x，-2x-3），N（x，x²-4x-6），可表示出MN的长度，整理是二次函数，根据二次函数的顶点坐标，求得线段MN长取得最大值．

解答：解：（1）将A（-1，-1）、B（3，-9）代入y=ax²+bx+c，
得到

-1=a-b+c -9=9a+3b+c

，
两式相减得到：2a+b=-2，
再将C（m，m）、D（4-m，m）代入，
得到：

m=am2+bm+c m=a(4-m)2+b(4-m)+c=0

，
两式相减，得到：16a+4b-8am-2bm=0，
整理得到：（4a+b）（4-2m）=0
因为m≠2，所以4a+b=0，与2a+b=-2联立，
得到a=1，b=-4，
那么c=-6，m=6
所以该二次函数解析式为y=x²-4x-6，m=6或-1；

（2）设经过A（-1，-1）和点B（3，-9）的一次函数解析式为y=kx+b，
将两点坐标代入，得到

-1=-k+b -9=3k+b

，
解得k=-2，b=-3，
一次函数解析式为y=-2x-3
设点P（x，y），则M（x，-2x-3），N（x，x²-4x-6），
那么MN=（-2x-3）-（x²-4x-6）=-x²+2x+3，这里-1＜x＜3，
由于MN=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以当x=1时，线段MN长取得最大值4．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有用待定系数法求抛物线、直线的解析式，抛物线的顶点公式．在求有关最值问题时要考虑二次函数的顶点．