Question

22、如图，已知?ABCD的周长为6，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小1．
（1）求这个平行四边形各边的长．
（2）将射线OA绕点O顺时针旋转，交AD于E，当旋转角度为多少度时，CA平分∠BCE．说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边分别相等和对角线互相平分的性质，知AB=CD，BC=AD，AO=CO．因△AOB的周长比△BOC的周长小1，所以BC-AB=1．再结合平行四边形ABCD的周长为6，可得AB+BC=3，组成方程组求解，可得这个平行四边形各边的长．
（2）要证CA平分∠BCE，需证∠ACB=∠ECA．要证∠ACB=∠ECA，先根据题意，证明∠ACB=∠EAC，∠EAC=∠ECA，由等量代换得证∠ACB=∠ECA．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AO=CO，
∵AB+BC+CD+AD=6，
∴AB+BC=3，
又∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，
∴BC-AB=1，
∴AB=DC=1，BC=AD=2．

（2）当旋转角度为90°时，CA平分∠BCD．
证明：∵OE⊥AC，且AO=CO，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ECA，即CA平分∠BCD．

点评：本题运用平行线的性质和旋转的性质求平行四边形各边的长，注意运用角平分线的定义．