Question

如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1．连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

(1)求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

(2)观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答(根据提出问题的层次和解答过程评分)．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG． 　　∴BC＝CE＝EG＝BG＝1，即BG＝3． 　　∴FG＝AB＝，∴＝＝＝． 　　又∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG． 　　∵△FEG是等腰三角形，∴△BFG是等腰三角形，∴BF＝BG＝3． 　　(2)A层问题(较浅显的，仅用到1个知识点)． 　　例如：①求证：∠PCB＝∠REC．(或问∠PCB与∠REC是否相等？)等； 　　②求证：PC∥RE．(或问线段PC与RE是否平行？)等． 　　B层问题(有一定思考的，用到了2～3个知识点)． 　　例如：①求证∠BPC＝∠BFG等，求证：BP＝PR等；②求证：△ABP∽△CQP等，求证：△BPC∽△BRE等；③求证：△ABP△DQR等；④求BP∶PF的值等． 　　C层问题(有深刻思考的，用到了4个或4个以上知识点、或用到了(1)中结论)． 　　例如：①求证△ABP∽△QPC∽△ERF；②求证PQ＝RQ等；③求证：△BPC是等腰三角形；④求证：△PCQ≌△RDQ等；⑤求AP∶PC的值等；⑥求BP的长；⑦求证：PC＝(或求PC的长)等． 　　A层解答举例．求证PC∥RE． 　　证明：∵△ABC≌△DCE，∴∠PCB＝∠REB，∴PC∥RE． 　　B层解答举例．求证：BP＝PR． 　　证明：∵∠ACB＝∠REC，∴AC∥DE．又∵BC＝CE，∴BP＝PR． 　　C层解答举例．求证AP∶PC的值． 　　证明：AC∥FG，∴＝＝，∴PC＝，而AC＝． 　　∴AP＝－＝，∴AP∶PC＝2． 　　剖析：在第(1)问中，由图可知∠BGF为两个三角形公共角，而另外两个角不易证相等，因此要求出夹公共角的两边对应成比例是解本题关键，而由题中条件不难求出夹公共角的两边对应成比例，则问题得证；第(2)问是一道开放性题，提出的问题，只要符合题意并能证明即可．

提示：

方法提炼： 　　证明三角形相似关键是要读懂题目，观察图形，找准解题方向，则问题就会迎刃而解；对于由给定条件寻求结论的探索性问题，其解法思路是：从所给条件出发，探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明．