Question

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN；
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证出△BCD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°．
那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD，所以可证出AM=DN；
（2）先证△ADG≌△DBH，在此基础上再证△AGM≌△DHN，从而得出AM=DN．
解答：（1）证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．
∴CD=AD=BD，
又∠B=90°-∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形．
又∵CN⊥DB，
∴DN=DB．
∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，
∴∠ADG=30°，而∠A=30°．
∴GA=GD．
∵GM⊥AB，
∴AM=AD．
又∵AD=DB，
∴AM=DN．

（2）解：（1）的结论依然成立．理由如下：
∵DF∥AC，
∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°．
∵∠B=60°，AD=DB，
∴△ADG≌△DBH，
∴AG=DH．
又∵GM⊥AB，HN⊥AB，
∴∠GMA=∠HND=90°，
∵∠1=∠A，
∴Rt△AMG≌Rt△DNH，
∴AM=DN．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的三线合一定理、等边三角形的有关性质．