Question

【题目】下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程

已知：⊙O

求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．

作法：如图

①作⊙O的直径AC；

②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；

③连接BO并延长交⊙O于点D；

所以四边形ABCD就是所求作的矩形.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：∵点A，C都在⊙O上，

∴OA=OC

同理OB=OD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90° （ ）（填推理的依据）

∴四边形ABCD是矩形

∵AB= =BO，

∴四边形ABCD四所求作的矩形

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.

【解析】

（1）根据要求作图即可得；

（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．

（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；

（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，

∴OA=OC

同理OB=OD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）

∴四边形ABCD是矩形

∵AB=AO=BO，

∴四边形ABCD即为所求作的矩形，

故答案为直径所对圆周角是直角，AO．