分析 (1)求出A、B两点坐标,根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
(2)如图1中,设点k的坐标为(0,m),△APK的面积为8,过点K作PA的平行线交抛物线于Q1、Q2.则△Q1AP为8,△Q2AP的面积为8,求出直线QK的解析式,解方程组即可解决问题.
(3)直线PC解析式为y=ax+a-2,与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+x+$\frac{3}{4}$,由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a-2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得:x2-4(a-1)x+11-4a=0,所以x1+x2=4a-4,x1x2=11-4a,由$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$=$\frac{\frac{1}{4}({x}_{1}+1)({x}_{1}+3)•\frac{1}{4}({x}_{2}+1)({x}_{2}+3)}{({x}_{1}+3)({x}_{2}+3)}$=$\frac{1}{16}$(x1+1)(x2+1)=$\frac{1}{16}$(11-4a+4a-4+1)=$\frac{1}{2}$,可得OM•ON=$\frac{1}{2}$OA2,得到结果为定值.
解答 解:(1)当y=0时,$\frac{1}{4}$x2+x+$\frac{3}{4}$=0,解得x=-3,x=-1,
即A(-3,0),B(-1,0).
PB=AB=2,即P(-1,-2);
(2)如图1中,设点k的坐标为(0,m),△APK的面积为8,过点K作PA的平行线交抛物线于Q1、Q2.则△Q1AP为8,△Q2AP的面积为8.
则S△AOK+S△AOP-S△POK=5,
∴$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×m×1=5,
∴m=2,点K坐标(0,2),
∵直线AP的解析式为y=-x-3,
过点K平行AP的直线的解析式为y=-x+2,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,消去y得到x2+8x-5=0,
解得x=-4±$\sqrt{21}$.
∴点Q的横坐标为-4+$\sqrt{21}$或-4-$\sqrt{21}$.
(3)直线PC解析式为y=ax+a-2,与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+x+$\frac{3}{4}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a-2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得:x2-4(a-1)x+11-4a=0,
∴x1+x2=4a-4,x1x2=11-4a,
∵$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$=$\frac{\frac{1}{4}({x}_{1}+1)({x}_{1}+3)•\frac{1}{4}({x}_{2}+1)({x}_{2}+3)}{({x}_{1}+3)({x}_{2}+3)}$=$\frac{1}{16}$(x1+1)(x2+1)
=$\frac{1}{16}$(11-4a+4a-4+1)
=$\frac{1}{2}$,
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA2=$\frac{9}{2}$.
点评 本题主要考查了二次函数的综合题型,一次函数、二元二次方程组、一元二次方程等知识的综合运用,解题的关键是灵活运用所学知识,学会取特殊点解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
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与标准质量的差值 (单位:g) | -5 | -2 | 0 | 1 | 3 | 6 |
袋 数 | 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 3 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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