Question

17．如图1，已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$与x轴交于A、B两点，以B为直角顶点作等腰直角三角形ABP，且P在第三象限．
（1）求点P的坐标．
（2）若点Q为抛物线上的动点，且S_△PAQ=5，求点的Q横坐标n的值．
（3）如图2，直线AC交抛物线于C，交y轴于M，连CP交抛物线于E，连AE交y轴于N，求OM•ON的值．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）如图1中，设点k的坐标为（0，m），△APK的面积为8，过点K作PA的平行线交抛物线于Q₁、Q₂．则△Q₁AP为8，△Q₂AP的面积为8，求出直线QK的解析式，解方程组即可解决问题．
（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a-2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，所以x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，由$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{x}_{1}+1）（{x}_{1}+3）•\frac{1}{4}（{x}_{2}+1）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）=$\frac{1}{2}$，可得OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²，得到结果为定值．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$=0，解得x=-3，x=-1，
即A（-3，0），B（-1，0）．
PB=AB=2，即P（-1，-2）；

（2）如图1中，设点k的坐标为（0，m），△APK的面积为8，过点K作PA的平行线交抛物线于Q₁、Q₂．则△Q₁AP为8，△Q₂AP的面积为8．

则S_△AOK+S_△AOP-S_△POK=5，
∴$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×m×1=5，
∴m=2，点K坐标（0，2），
∵直线AP的解析式为y=-x-3，
过点K平行AP的直线的解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+8x-5=0，
解得x=-4±$\sqrt{21}$．
∴点Q的横坐标为-4+$\sqrt{21}$或-4-$\sqrt{21}$．

（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a-2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，
∴x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，
∵$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{x}_{1}+1）（{x}_{1}+3）•\frac{1}{4}（{x}_{2}+1）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）
=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）
=$\frac{1}{2}$，
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题型，一次函数、二元二次方程组、一元二次方程等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识，学会取特殊点解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．